o Devinettes:

Qui a inventé le signe = ?
Qui a introduit l'usage des chiffres arabes en Europe ?
Qui a écrit le premier livre de Mathématiques imprimé en Europe ?

o Grands nombres: Combien faut-il de décimales de pi en pratique ?

On a calculé le nombre pi avec des milliards de décimales. Combien de décimales sont-elles vraiment nécessaires pour calculer avec une bonne précision les cercles les plus grands ?

o Théorème: Tous les nombres entiers sont intéressants.

Démonstration: par l'absurde.
Soit E l'ensemble des nombres qui ne sont pas intéressants. Si E est non vide, alors il admet un plus petit élément p.
p est un nombre remarquable puisque c'est le plus petit des nombres non-intéressants: p est donc un nombre intéressant. Ce n'est donc certainement pas le plus petit des nombres qui ne sont pas intéressants. L'ensemble E est donc vide, et tous les nombres sont intéressants.

o Chercheur au travail:

Conjecture: Tous les nombres entiers impairs sont premiers.
Analyse: 1 n'est pas premier, ça commence mal mais c'est normal avec 1.
3 est premier, 5 est premier, 7 est premier, tiens, 9 n'est pas premier,
11 est premier, 13 est premier, 15 non plus n'est pas premier, étrange.
17 est premier, 19 est premier, bon j'ai compris.

Théorème: Tous les nombres entiers impairs sont premiers, sauf 1, 9, 15, etc.

o Paradoxe: L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas.

Démonstration: c'est la version ensembliste du paradoxe du menteur des grecs.
Supposons que l'ensemble de tous les ensembles existe, et appelons-le E. Il est clair que E appartient à E. Il existe donc des ensembles qui s'appartiennent. Par ailleurs il existe aussi des ensembles qui ne s'appartiennent pas (l'ensemble vide ne s'appartient pas puisqu'il est vide). On considère alors l'ensemble ``menteur'' M, défini comme l'ensemble des éléments de E qui ne s'appartiennent pas, c'est-à-dire (en notant <- le symbole d'appartenance à un ensemble et par non la négation logique):

M = {x <- E, non (x <- x)}

M <- M

-si l'on suppose que M est vraie alors on peut montrer que M est fausse
et
-si l'on suppose que M est fausse alors on peut démontrer que M est vraie

1. si M <- M alors non (M <- M), par définition de l'ensemble M.
2. réciproquement, si non (M <- M) alors M vérifie le prédicat définissant M et donc M <- M, ce qui est absurde.