Fichier créé en 1995.

o Devinettes:

Qui a inventé le signe = ?
Qui a introduit l'usage des chiffres arabes en Europe ?
Qui a écrit le premier livre de Mathématiques imprimé en Europe ?

o Grands nombres: Combien faut-il de décimales de pi en pratique ?

On a calculé le nombre pi avec des milliards de décimales. Combien de décimales sont-elles vraiment nécessaires pour calculer avec une bonne précision les cercles les plus grands ?

o Théorème: Tous les nombres entiers sont intéressants.

Démonstration: par l'absurde.
Soit E l'ensemble des nombres qui ne sont pas intéressants. Si E est non vide, alors il admet un plus petit élément p.
p est un nombre remarquable puisque c'est le plus petit des nombres non-intéressants: p est donc un nombre intéressant. Ce n'est donc certainement pas le plus petit des nombres qui ne sont pas intéressants. L'ensemble E est donc vide, et tous les nombres sont intéressants.

o Chercheur au travail:

Conjecture: Tous les nombres entiers impairs sont premiers.
Analyse: 1 n'est pas premier, ça commence mal mais c'est normal avec 1.
3 est premier, 5 est premier, 7 est premier, tiens, 9 n'est pas premier,
11 est premier, 13 est premier, 15 non plus n'est pas premier, étrange.
17 est premier, 19 est premier, bon j'ai compris.

Théorème: Tous les nombres entiers impairs sont premiers, sauf 1, 9, 15, etc.

o Paradoxe: L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas.

Démonstration: c'est la version ensembliste du paradoxe du menteur des grecs.
Supposons que l'ensemble de tous les ensembles existe, et appelons-le E. Il est clair que E appartient à E. Il existe donc des ensembles qui s'appartiennent. Par ailleurs il existe aussi des ensembles qui ne s'appartiennent pas (l'ensemble vide ne s'appartient pas puisqu'il est vide). On considère alors l'ensemble ``menteur'' M, défini comme l'ensemble des éléments de E qui ne s'appartiennent pas, c'est-à-dire (en notant <- le symbole d'appartenance à un ensemble et par non la négation logique):

M = {x <- E, non (x <- x)}
M est un ensemble, puisqu'un prédicat est collectivisant; mais alors la phrase
M <- M
est contradictoire, ce qui signifie qu'elle est à la fois vraie et fausse, ou encore que
-si l'on suppose que M est vraie alors on peut montrer que M est fausse
et
-si l'on suppose que M est fausse alors on peut démontrer que M est vraie
Dans le cas de la phrase M <- M en effet:
  1. si M <- M alors non (M <- M), par définition de l'ensemble M.
  2. réciproquement, si non (M <- M) alors M vérifie le prédicat définissant M et donc M <- M, ce qui est absurde.
On n'a donc pas le droit de supposer l'existence de l'ensemble de tous les ensembles, sous peine d'avoir des phrases mathématiques vraies dont le contraire est également vrai.


Dernière modification: Friday, November 22, 2002
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